Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:(x+2)/2=(y-4)/-3=(z+1)/1

* Hướng dẫn giải

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}\left(2;-3;1\right)$, qua H ( -2;4;-1 )

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}\left(A;B;C\right);\left(A^2+B^2+C^2>0\right)$

Ta có

$$\begin{gathered} d//\left(P\right)\iff \left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{u}.\overrightarrow{n}=0\\ H\left(-2;4;-1\right)\notin \left(P\right)\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}2A-3B+C=0\\ -3A+4B-C\ne 0\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}C=0-2A+3B\\ C\ne 3A-4B\end{array}\right. \end{gathered}$$ 

Mặt khác (P) qua K ( 1;0;0 ) suy ra  $\left(P\right):Ax+By+\left(3B-2A\right)z-A=0$

Ngoài ra

$$\begin{gathered} d\left(M;\left(P\right)\right)=\frac{\left|-5A+8B\right|}{\sqrt{A^2+B^2+{\left(3B-2A\right)}^2}}=\sqrt{3} \\ \iff 5A^2-22.AB+17B^2=0 \\ \iff \left\{\begin{array}{l}A=B\\ 5A=17B\end{array}\right. \end{gathered}$$ 

Với A = B$\Rightarrow$C = B không thỏa mãn (*)

Với 5A = 17B, chọn A = 17, suy ra B = 5, do đó C = -19 (nhận)

Vậy (P): 17x + 5y - 19z - 17 = 0

Đáp án B