Cho hai hàm số fx và gx có đạo hàm trên đoạn 1; 4 và thỏa mãn hệ thức f1+g1=4gx=−x.f'x; fx=−x.g'x. Tính I=∫14fx+gxdx.

Chọn A

Cách 1: Ta có $f\left(x\right)+g\left(x\right)=-x\left[f^{\text{'}}\left(x\right)+g^{\text{'}}\left(x\right)\right]$ $\iff \frac{f\left(x\right)+g\left(x\right)}{f^{\text{'}}\left(x\right)+g^{\text{'}}\left(x\right)}=-\frac{1}{x}$

$\iff \int \frac{f\left(x\right)+g\left(x\right)}{f^{\text{'}}\left(x\right)+g^{\text{'}}\left(x\right)}\text{d}x=-\int \frac{1}{x}\text{d}x$$\Rightarrow \ln \left|f\left(x\right)+g\left(x\right)\right|$$=-\ln \left|x\right|+C$

Theo giả thiết ta có $C-\ln \left|1\right|=\ln \left|f\left(1\right)+g\left(1\right)\right|$$\Rightarrow C=\ln 4$.

Suy ra $\left[\begin{array}{l}f\left(x\right)+g\left(x\right)=\frac{4}{x}\\ f\left(x\right)+g\left(x\right)=-\frac{4}{x}\end{array}\right.$, vì $f\left(1\right)+g\left(1\right)=4$ nên $f\left(x\right)+g\left(x\right)=\frac{4}{x}$

$\Rightarrow I=\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left[f\left(x\right)+g\left(x\right)\right]\text{d}x=8\ln 2$

.