log3 (1-y)/(x+3xy)=3xy+x+3y-4. Tìm giá trị nhỏ nhất Pmin của biểu thức P=x+y

* Hướng dẫn giải

ĐK:

Ta có

${\log }_3\frac{1-y}{x+3xy}=3xy+x+3y-4$

Xét hàm số $f\left(x\right)={\log }_{3}t+3t\left(t>0\right)$

có $f\text{'}\left(t\right)=\frac{1}{t\ln 3}+3>0;\forall t>0$ nên hàm số đồng biến trên $\left(0;+\infty \right)$

Kết hợp (*) suy ra

Xét $P=x+y\Rightarrow x=P-y$ thay vào (**) ta được

Ta tìm giá trị nhỏ nhất của $g\left(y\right)=\frac{3y^2-2y+3}{3y+1}$ trên (0;1)

Ta có

Giải phương trình

Lại có $g\text{'}\left(y\right)<0\forall y\in \left(0;\frac{-1+2\sqrt{3}}{3}\right)$

và $g\text{'}\left(y\right)>0\forall y\in \left(\frac{-1+2\sqrt{3}}{3};1\right)$

Hay g'(y) đổi dấu từ âm sang dương tại $y=\frac{-1+2\sqrt{3}}{3}$ nên

$\Rightarrow P_{min}=\frac{4\sqrt{3}-4}{3}$

Chọn đáp án A.