Cho các số phức z1,z2 thỏa mãn |z1|=|z2|= căn3 và |z1-z2|=2 . Môđun |z1+z2| bằng

* Hướng dẫn giải

Cách 1:

Gọi các số phức

$$\begin{gathered} z_1=a_1+b_{1}i, \\ {z}_2=a_2+b_{2}i (a_1,b_1,a_2,b_2\in \mathrm{ℝ}) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} z_1-z_2=\left(a_1-a_2\right)+\left(b_1-b_2\right)i \\ {z}_1+z_2=\left(a_1+a_2\right)+\left(b_1+b_2\right)i \end{gathered}$$

Ta có:$\left|z_1\right|=\sqrt{a_1^2+b_1^2}=\sqrt{3}$

$\Rightarrow a_1^2+b_1^2=3$

$\left|z_2\right|=\sqrt{a_2^2+b_2^2}=\sqrt{3}\Rightarrow a_2^2+b_2^2=3$

$\left|z_1-z_2\right|=2$

$$\begin{gathered} \iff \sqrt{{\left(a_1-a_2\right)}^2+{\left(b_1-b_2\right)}^2}=2 \\ \iff {\left(a_1-a_2\right)}^2+{\left(b_1-b_2\right)}^2=4 \\ \iff a_1^2+b_1^2+a_2^2+b_2^2-2a_1{a}_2-2b_1{b}_2=4 \\ \iff 2a_1{a}_2+2b_1{b}_2=2 \end{gathered}$$

Do đó:

$$\begin{gathered} \left|z_1+z_2\right|=\sqrt{{\left(a_1+a_2\right)}^2+{\left(b_1+b_2\right)}^2} \\ =\sqrt{a_1^2+b_1^2+a_2^2+b_2^2+2a_1{a}_2+2b_1{b}_2} \\ =\sqrt{8}=2\sqrt{2} \end{gathered}$$

Cách 2:

$$\begin{gathered} {\left|z_1-z_2\right|}^2=z_1-z_2 \\ \overline{z_1}-\overline{z_2}={\left|z_1\right|}^2+{\left|z_2\right|}^2-z_1\overline{z_2}+z_2\overline{z_1}=4 \\ {\left|z_1+z_2\right|}^2=z_1+z_2 \\ \overline{z_1}+\overline{z_2}={\left|z_1\right|}^2+{\left|z_2\right|}^2+z_1\overline{z_2}+z_2\overline{z_1}=8 \\ \Rightarrow \left|z_1+z_2\right|=2\sqrt{2} \end{gathered}$$

Cách 3:

Gọi A, B lần lượt là điểm biểu diễn 2 số phức $z_1,z_2$. Khi đó tam giác OAB có $OA=OB=\sqrt{3}, AB=2$. Gọi I là trung điểm của AB.

$$\begin{gathered} OI=\sqrt{O{A}^2-A{I}^2}=\sqrt{2} \\ \left|z_1+z_2\right|=2\left|\stackrel{\rightharpoonup }{OI}\right|=2\sqrt{2} \end{gathered}$$

Chọn đáp án D.