Cho hàm số y =f(x) =e^x(asinx +bcosx) với a, b là các số thực

* Hướng dẫn giải

Chọn đáp án D

Ta có

Suy ra

Từ giả thiết ta có $f^{\text{'}}\left(x\right)+f^{\text{'}\text{'}}\left(x\right)=10e^x$ 

Để phương trình $f^{\text{'}}\left(x\right)+f^{\text{'}\text{'}}\left(x\right)=10e^x$có nghiệm

$\iff$ Phương trình (*) có nghiệm

* Nếu b = 0 thì $S=a^2\ge 10$ 

* Nếu $b\ne 0$ thì $S=a^2-2ab+3b^2\ge 10.\frac{{\left({\displaystyle \frac{a}{b}}\right)}^2-2.{\displaystyle \frac{a}{b}}+3}{{\left({\displaystyle \frac{a}{b}}\right)}^2+1}$.

Đặt $t=\frac{a}{b}\left(t\in R\right)$, suy ra $S\ge 10.\frac{t^2-2t+3}{t^2+1}$.

Xét hàm số $f\left(t\right)=\frac{t^2-2t+3}{t^2+1}$ trên R.

Ta có

Bảng biến thiên:

Quan sát bảng biến thiên ta thấy $f\left(t\right)\ge 2-\sqrt{2}$