Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (a):x +y +z -4 =0

* Hướng dẫn giải

Chọn đáp án C

Mặt cầu (S) có tâm I(4;3;3) và bán kính R = 4. Gọi I’ là hình chiếu của I trên mặt phẳng $\left(\alpha \right)$.

Đường thẳng $I{I}^{\text{'}}$ đi qua I(4;3;3) và nhận $\stackrel{\rightharpoonup }{n=}\left(1;1;1\right)$ làm vectơ chỉ phương nên có phương trình là:

Tọa độ điểm I’ thỏa mãn hệ

$\iff t=-2$. Suy ra I’(2;1;1).

Gọi hình tròn (C) bán kính r là thiết diện của khối cầu (S) khi cắt bởi mặt phẳng $\left(\alpha \right)$. Khi đó I’ là tâm của đường tròn (C).

Ta có $IM=\sqrt{14}<4=R$ và $M\in \left(\alpha \right)$ nên điểm M thuộc miền trong của đường tròn (C) (M nằm trong hình trong hình tròn).

Do đường thẳng $d\subset \left(\alpha \right)$, d đi qua M và d cắt mặt cầu tại hai điểm A, B nên d cắt đường tròn (C) tại hai điểm A, B.

Phương tích của điểm M với đường tròn (C): $MA.MB=r^2-I^{\text{'}}{M}^2$.

Do r không đổi nên $r^2-I^{\text{'}}{M}^2$ không đổi $\Rightarrow MA.MB$ không đổi.

Lại có

Dấu “=” xảy ra khi MA = MB hay $AB\perp M{I}^{\text{'}}$.

Mà $AB\perp M{I}^{\text{'}}$ nên đường thẳng AB có một vectơ chỉ phương là  $\stackrel{\rightharpoonup }{u}=\left[\stackrel{\rightharpoonup }{I{I}^{\text{'}};}\stackrel{\rightharpoonup }{M{I}^{\text{'}}}\right]=\left(2;-4;2\right)$(cùng phương với vectơ $\stackrel{\rightharpoonup }{u_2}$)