m là số thực thỏa mãn giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x)=31^x +3^x +mx trên R là 2

* Hướng dẫn giải

Ta có:

$$\begin{gathered} f\left(x\right)={31}^x+3^x+mx \\ \Rightarrow f\text{'}\left(x\right)={31}^x\ln 31+3^x\ln 3+m \end{gathered}$$

Xét 2 trường hợp sau:

TH1: $m\ge 0,f\text{'}\left(x\right)>0\Rightarrow$ hàm số y=f(x) luôn đồng biến $\Rightarrow$ không tồn tại giá trị min.

TH2: $m<0\Rightarrow f\text{'}\text{'}\left(x\right)={31}^x{\ln }^{2}31+3^x{\ln }^{2}3>0$

$\Rightarrow f\text{'}\left(x\right)$có nhiều nhất 1 nghiệm $x_0$. Chọn trường hợp $f\text{'}\left(x\right)=0$ có nghiệm, khi đó

Khi đó: $\left\{\begin{array}{l}f\left(x_0\right)=2\\ f\text{'}\left(x_0\right)=0\end{array}\right.$

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{31}^{x_0}+3^{x_0}+m{x}_0=2\\ {31}^{x_0}\ln 31+3^{x_0}\ln 3+m=0\end{array}\right.\left(*\right)$ 

Với $x_0=0\Rightarrow m=-\ln 31-\ln 3\in \left(-5;0\right)$ 

Với $x_0\#0\left(*\right)$

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}m=\frac{-{31}^{x_0}-3^{x_0}}{x_0}\\ m=-{31}^{x_0}\ln 31-3^{x_0}\ln 3\end{array}\right.\left(**\right)$ 

Từ (**) bấm máy tính ta thấy $m\in \left(-5;0\right)$ là thỏa mãn.

Chọn đáp án B.