f(1-x)+x^2 f''(x)=2x với mọi x thuộc R . Tính tích phân I=tích phân từ 0 đến 1 xf'(x)dx

* Hướng dẫn giải

$f(1-x)+x^{2}f\text{'}\text{'}\left(x\right)=2x\left(1\right)$ 

Thay x=0 vào (1) ta được f(1)=0 

Đạo hàm hai vế của (1) ta có $-f\text{'}(1-x)+2xf\text{'}\text{'}\left(x\right)+x^{2}f\text{'}\text{'}\text{'}\left(x\right)=2\left(2\right)$ 

Thay x=0 vào (2) ta được f'(1)=2

Mặt khác, lấy tích phân hai vế cận từ 0 đến 1 của (1) ta có:

$$\begin{gathered} {\int }_0^{1}f(1-x)dx+{\int }_0^1{x}^{2}f\text{'}\text{'}\left(x\right)dx \\ ={\int }_0^{1}2xdx \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \iff -{\int }_0^{1}f(1-x)d(1-x)+f\text{'}\left(1\right) \\ -2{\int }_0^{1}xf\text{'}\left(x\right)dx=1 \\ \iff {\int }_0^{1}f\left(x\right)dx-2{\int }_0^{1}xf\text{'}\left(x\right)dx=3 \end{gathered}$$

Đặt ${\int }_{}^{1}f\left(x\right)dx=I_1$. Vì

$$\begin{gathered} {\int }_0^{1}xf\text{'}\left(x\right)dx=f\left(1\right)-{\int }_0^{1}f\left(x\right)dx \\ =-{\int }_0^{1}f\left(x\right)dx \end{gathered}$$

nên ta có hệ: $\left\{\begin{array}{l}{I}_1-2I=3\\ I=-I_1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{I}_1=1\\ I=-1\end{array}\right.$ 

Vậy I=-1

Chọn đáp án B.