thỏa mãn (2+i)|z|=z/w +1-i . Tìm giá trị lớn nhất của T=|w+1-i|

* Hướng dẫn giải

Nhận xét z=0 không thỏa mãn giả thiết bài toán.

Đặt $\left|z\right|=R,R>0$

Ta có:

$$\begin{gathered} \left(2+i\right)\left|z\right|=\frac{z}{w}+1-i \\ \iff \left(2R-1\right)+\left(R+1\right)i=\frac{z}{w} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \Rightarrow \frac{R}{\left|w\right|}=\sqrt{5R^2-2R+2} \\ =\sqrt{\frac{5R^2-2R+2}{R^2}}=\sqrt{5-\frac{2}{R}+\frac{2}{R^2}} \\ =\sqrt{2{\left(\frac{1}{R}-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{9}{2}}\ge \frac{3}{\sqrt{2}},\forall R>0 \end{gathered}$$

Suy ra $\left|w\right|\le \frac{\sqrt{2}}{3},\forall R>0$ 

Ta có

$$\begin{gathered} T=\left|w+1-i\right|\le \left|1-i\right| \\ \le \frac{\sqrt{2}}{3}+\sqrt{2}=\frac{4\sqrt{2}}{3} \end{gathered}$$

Đẳng thức xảy ra khi $\left\{\begin{array}{l}\begin{array}{c}\left|z\right|=2\\ w=k\left(1-i\right),k>0\end{array}\\ \left(2+i\right)\left|z\right|=\frac{z}{w}+1-i\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}z=2\\ w=\frac{1}{3}(1-i)\end{array}\right.$ 

Vậy $maxT=\frac{4\sqrt{2}}{3}$ 

Chọn đáp án A.