Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(1;0;0),B(0;1;0),C(0;0;1),D(0;0;0)

* Hướng dẫn giải

Phương trình mặt phẳng (ABC): x+y+z-1=0 

Phương trình mặt phẳng (BCD): x=0 

Phương trình mặt phẳng (CDA): y=0 

Phương trình mặt phẳng (ĐBA): z=0 

Gọi I(x;y;z) là điểm cách đều bốn mặt phẳng (ABC),(BCD),(CDA),(DBA)

$\Rightarrow \frac{\left|x+y+z-1\right|}{\sqrt{3}}=\left|x\right|=\left|y\right|=\left|z\right|$

TH1:$x=y=z\Rightarrow \frac{\left|3x-1\right|}{\sqrt{3}}=\left|x\right|$

$\iff [\begin{array}{c}x=\frac{1}{3+\sqrt{3}}\\ x=\frac{1}{3-\sqrt{3}}\end{array}\Rightarrow I\left(\frac{1}{3+\sqrt{3}};\frac{1}{3+\sqrt{3}};\frac{1}{3+\sqrt{3}}\right)$

hoặc $I\left(\frac{1}{3-\sqrt{3}};\frac{1}{3-\sqrt{3}};\frac{1}{3-\sqrt{3}}\right)$

TH2:$-x=y=z\Rightarrow \frac{\left|-x-1\right|}{\sqrt{3}}=\left|x\right|$

$\iff [\begin{array}{c}x=\frac{1}{\sqrt{3}-1}\\ x=\frac{-1}{\sqrt{3}+1}\end{array}\Rightarrow I\left(\frac{1}{\sqrt{3}-1};\frac{-1}{\sqrt{3}-1};\frac{-1}{\sqrt{3}-1}\right)$

hoặc $I\left(\frac{-1}{\sqrt{3}+1};\frac{1}{\sqrt{3}+1};\frac{1}{\sqrt{3}+1}\right)$

TH3:$x=y=-z\Rightarrow \frac{\left|x-1\right|}{\sqrt{3}}=\left|x\right|$

hoặc $I\left(\frac{1}{\sqrt{3}-1};\frac{-1}{\sqrt{3}-1};\frac{1}{\sqrt{3}-1}\right)$

TH4:$x=y=-z\Rightarrow \frac{\left|x-1\right|}{\sqrt{3}}=\left|x\right|$

$\iff [\begin{array}{c}x=\frac{-1}{\sqrt{3}-1}\\ x=\frac{1}{\sqrt{3}+1}\end{array}\Rightarrow I\left(\frac{-1}{\sqrt{3}-1};\frac{-1}{\sqrt{3}-1};\frac{1}{\sqrt{3}-1}\right)$

hoặc $I\left(\frac{1}{\sqrt{3}+1};\frac{1}{\sqrt{3}+1};\frac{-1}{\sqrt{3}+1}\right)$

Vậy, có tất cả 8 điểm thỏa mãn.

Chọn đáp án C.