Cho tam giác ABC đều cạnh a và nội tiếp trong đường tròn tâm O,

* Hướng dẫn giải

Thể tích cần tìm bằng thể tích của khối cầu đường kính AD trừ đi thể tích khối nón sinh bởi tam giác ABC khi quay quanh trục AD.

+) $∆ADC$ vuông tại $C\Rightarrow aD=\frac{AC}{cosDAC}=\frac{a}{{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}}=\frac{2a}{\sqrt{3}}$

$\Rightarrow$Bán kính khối cầu đường kính AD là: $R=\frac{a}{\sqrt{3}}$

$\Rightarrow V_{cau}=\frac{4}{3}\mathrm{\pi }.{\left(\frac{\mathrm{a}}{\sqrt{3}}\right)}^3=\frac{4{\mathrm{\pi a}}^3\sqrt{3}}{27}$

+) $∆ABC$ đều cạnh $a\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}AH=\frac{a\sqrt{3}}{3}\\ r=HB=HC=\frac{a}{2}\end{array}\right.$

Thể tích khối nón là:

$V_{non}=\frac{1}{3}\mathrm{\pi }{\left(\frac{\mathrm{a}}{2}\right)}^2.\frac{\mathrm{a}\sqrt{3}}{2}=\frac{{\mathrm{\pi a}}^3\sqrt{3}}{24}$

Thể tích cần tìm là:

$V=\frac{4{\mathrm{\pi a}}^3\sqrt{3}}{27}-\frac{{\mathrm{\pi a}}^3\sqrt{3}}{24}=\frac{24{\mathrm{\pi a}}^3\sqrt{3}}{216}$

Chọn đáp án D.