Cho hàm số f(x)=x^4 -4x^2 +1 Khi đó, phương trình f(f(f(x)-1)-2)=1

* Hướng dẫn giải

Đặt $t=f\left(f\right(x)-1)-2$ phương trình trở thành: 

$$\begin{gathered} f\left(t\right)=1\iff t^4-4t^2+1=1 \\ \iff t=0;t=\pm 2 \end{gathered}$$

TH1: Nếu

$$\begin{gathered} t=0\iff f\left(f\right(x)-1)-2=0 \\ \iff f\left(f\right(x)-1)=2 \end{gathered}$$

Đặt a=f(x)-1 phương trình trở thành:

$$\begin{gathered} f\left(a\right)=2\iff a^4-4a^2-1=0 \\ \iff a=\pm \sqrt{2+\sqrt{5}} \end{gathered}$$

Nhận xét: Xét hàm số $y=f\left(x\right)-1=x^4-4x^2$ có $y_{cd}=y\left(0\right)=0;y_{ct}=y\left(\pm \sqrt{2}\right)=-4$

Với $a\in \left(-4;0\right)$ phương trình y = a có bốn nghiệm thực phân biệt. Với a = 0 phương trình y = a có hai nghiệm thực phân biệt. Với a < -4 phương trình y = a vô nghiệm.

Áp dụng cho trường này có 2 + 4 = 6 nghiệm.

TH2: Nếu

$$\begin{gathered} t=-2\iff f\left(f\right(x)-1)-2=-2 \\ \iff f\left(f\right(x)-1)=0 \end{gathered}$$

Đặt a=f(x)-1 phương trình trở thành:

$$\begin{gathered} f\left(a\right)=0\iff a^4-4a^2+1=0 \\ \iff a=\pm \sqrt{2+\sqrt{3}} \end{gathered}$$

Trường hợp này có 2 + 2 + 4 + 4 = 12 nghiệm.

TH3: Nếu $t=2\leftrightarrow f\left(f\right(x)-1)=4$ Đặt a=f(x)-1 phương trình trở thành:

$$\begin{gathered} f\left(a\right)=4\iff a^4-a=\pm 4a^2-3=0 \\ \iff a=\pm \sqrt{2+\sqrt{7}} \end{gathered}$$

Trường hợp này có 2 + 4 = 6 nghiệm.

Vậy phương trình đã cho có tất cả 24 nghiệm thực phân biệt.

Chọn đáp án A.