Cho tứ diện ABCD có CD=acăn2,ΔABC là tam giác đều cạnh a, ΔACD vuông tại A. Mặt phẳng

* Hướng dẫn giải

Chọn A

Coi như a =1. Tam giác ACD vuông tại A nên $AD=\sqrt{C{D}^2-A{C}^2}=1=AB\Rightarrow \Delta ABD$ cân tại A và tam giác ACD vuông cân tại A. Gọi H, E lần lượt là trung điểm của BD và DC. Ta có $AH\perp \left(BCD\right)$ và $CD\perp AE$. Hơn nữa $CD\perp AH\Rightarrow CD\perp \left(AHE\right)\Rightarrow CD\perp HE$ mà HE song song với BC suy ra BC vuông góc với CD. H là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD, do đó AH là trục đường tròn này. Trong tam giác AHE dựng đường thẳng qua E vuông góc AE và cắt AH tại điểm I. Do mặt phẳng (AHE) vuông góc với mặt phẳng (ACD) nên d cũng vuông góc với (ACD). Hơn nửa E là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD suy ra I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.

Ta có $AI.AH=A{E}^2\Rightarrow AI=\frac{A{E}^2}{AH}$. Ta có

$$\begin{gathered} AE=\frac{1}{2} CD=\frac{\sqrt{2}}{2},HK=\frac{1}{2} BC=\frac{1}{2} \\ \Rightarrow AH=\frac{1}{2} \end{gathered}$$ 

Vậy $AI=\frac{A{E}^2}{AH}=1\Rightarrow R=1\Rightarrow V_{mc}=\frac{4}{3}\pi$