Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Thể tích của khối cầu

* Hướng dẫn giải

Đáp án B

Gọi G là trọng tâm tứ diện ABCD. Ta chứng minh G là tâm mặt cầu tiếp xúc với tất cả các cạnh của tứ diện.

Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm các cạnh AB, CD, BC, AD, AC, BD.

Ta có G là trung điểm của các đoạn MN, PQ, RS.

 $\Delta ACD=\Delta BCD\Rightarrow AN=BN\Rightarrow \Delta NAB$ cân tại N $\Rightarrow MN\perp AB$

Tương tụ ta có $MN\perp CD.$

Ta có:$PQ=RS=MN=\sqrt{A{N}^2-A{M}^2}=\sqrt{{\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)}^2-\frac{a^2}{4}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}.$

Suy ra $d\left(G,AB\right)=d\left(G,CD\right)=\frac{1}{2}MN=\frac{a\sqrt{2}}{4}.$

Chứng minh tương tự ta có $d\left(G,AC\right)=d\left(G,AD\right)=d\left(G,BD\right)=d\left(G,BC\right)=\frac{a\sqrt{2}}{4}$

Vậy G là tâm mặt cầu tiếp xúc với tất cả các cạnh của tứ diện ABCD.

Bán kính mặt cầu $R=\frac{a\sqrt{2}}{4}.$Suy ra thể tích khối cầu là $V=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{4}{3}\pi {\left(\frac{a\sqrt{2}}{4}\right)}^3=\frac{\sqrt{2}\pi a^3}{24}.$