Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R và có bảng biến thiên như sau

* Hướng dẫn giải

Đáp án C

Từ bảng biến thiên ta có hàm số y=f(x) có$f^{\text{'}}\left(x\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x=2\end{array}\right., f^{\text{'}}\left(x\right)>0\iff \left[\begin{array}{l}x<1\\ x>2\end{array}\right., f^{\text{'}}\left(x\right)<0\iff 0<x<2$ và $f\left(0\right)=-1, f\left(2\right)=-2$.

Xét hàm số $g\left(x\right)=f\left(2-x\right)-2$ ta có $g^{\text{'}}\left(x\right)=-f^{\text{'}}\left(2-x\right)$.

Giải phương trình $g^{\text{'}}\left(x\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}2-x=0\\ 2-x=2\end{array}\right.$.

Ta có

$$\begin{gathered} g^{\text{'}}\left(x\right)>0\iff -f^{\text{'}}\left(2-x\right)>0\iff f^{\text{'}}\left(2-x\right)<0 \\ \iff 0<2-x<2\iff 0<x<2 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} g^{\text{'}}\left(x\right)<0\iff -f^{\text{'}}\left(2-x\right)<0\iff f^{\text{'}}\left(2-x\right)>0 \\ \iff \left[\begin{array}{l}2-x<0\\ 2-x>2\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}x>2\\ x<0\end{array}\right. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} g\left(0\right)=f\left(2-0\right)-2=f\left(2\right)-2=-4 \\ g\left(2\right)=f\left(2-2\right)-2=f\left(0\right)-2=-3 \end{gathered}$$

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta có

Hàm số g(x) nghịch biến trên khoảng (–∞;0) nên I sai.

Hàm số g(x) đồng biến trên khoảng (0;2) nên II sai.

Hàm số g(x) không đạt cực tiểu tại điểm –2 nên III sai.

Hàm số g(x) đạt cực đại tại x = 2 và cực đại bằng –3 nên IV đúng.