Cho hàm số y = f(x) liên tục trên M và có đồ thị (C). Biết hai

* Hướng dẫn giải

Đáp án A

Ta nhận thấy đạo hàm của hàm số y=f(x) là không xác định tại x₀=1; nhưng tồn tại các đạo hàm trái và đạo hàm phải tại điểm x₀=1; tức là $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(1\right)}{x-1}=f^{\text{'}}\left(1^{+}\right)$ và $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(1\right)}{x-1}=f^{\text{'}}\left(1^{-}\right)$

Các giá trị đạo hàm này lần lượt là hệ số góc của hai tiếp tuyến.

Dễ dàng suy ra được tam giác mà hai tiếp tuyến tạo với Ox có một góc bằng 60° và một góc bằng 75°.

Suy ra $\left[\begin{array}{l}{f}^{\text{'}}\left(1^{-}\right)+f^{\text{'}}\left(1^{+}\right)=\tan 60°-\tan 75°=-2\\ f^{\text{'}}\left(1^{-}\right)+f^{\text{'}}\left(1^{+}\right)=\tan 75°-\tan 60°=2\end{array}\right.$

$$\begin{gathered} A=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(2-x\right)}{x-1} \\ =\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(1\right)+f\left(1\right)-f\left(2-x\right)}{x-1} \\ =\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(1\right)}{x-1}+\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{f\left(1\right)-f\left(2-x\right)}{x-1} \\ \Rightarrow A=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(1\right)}{x-1}+\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{f\left(2-x\right)-f\left(1\right)}{1-x} \\ =\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(1\right)}{x-1}+\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{f\left(2-x\right)-f\left(1\right)}{\left(2-x\right)-1} \end{gathered}$$

Đặt $t=2-x$; nhận thấy khi $x\to 1^{+}$ thì $t\to t^{-}$.

Suy ra $A=f^{\text{'}}\left(1^{+}\right)+\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{f\left(t\right)-f\left(1\right)}{t-1}=f^{\text{'}}\left(1^{+}\right)+f^{\text{'}}\left(1^{-}\right)=2$ (do A>0).