Cho hai số phức z1 = x1 + y1, z2 = x2 + y2

* Hướng dẫn giải

Đáp án B

Điều kiện $z_1\ne -2+3i; z_2\ne 1-i$

Ta có 

$$\begin{gathered} \left|\frac{z_1-i}{z_1+2-3i}\right|=1\iff \left|z_1-i\right|=\left|z_1+2-3i\right| \\ \iff \left|x_1+\left(y_1-1\right)i\right|=\left|\left(x_1+2\right)+\left(y_1-3\right)i\right| \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \iff \sqrt{x_1^2+{\left(y_1-1\right)}^2}=\sqrt{{\left(x_1+2\right)}^2+{\left(y_1-3\right)}^2} \\ \iff x_1-y_1+3=0 \end{gathered}$$

Quỹ tích điểm M biểu diễn số phức z₁ thuộc đường thẳng $△:x-y+3=0$

Ta có 

$$\begin{gathered} \left|\frac{z_2+i}{z_2-1+i}\right|=\sqrt{2}\iff \left|z_2+i\right|=\sqrt{2}\left|z_2-1+i\right| \\ \iff \left|x_2+\left(y_2+1\right)i\right|=\sqrt{2}\left|\left(x_2-1\right)+\left(y_2+1\right)i\right| \\ \iff \sqrt{x_2^2+{\left(y_2+1\right)}^2}=\sqrt{2}\sqrt{{\left(x_2-1\right)}^2+{\left(y_2+1\right)}^2} \\ \iff x_2^2-4x_2+2y_2+3=0 \end{gathered}$$

Quỹ tích điểm N biểu diễn số phức z₂ là đường tròn $\left(C\right):x^2+y^2-4x+2y+3=0$ có tâm $I\left(2;-1\right)$ và bán kính $R=\sqrt{2^2+{\left(-1\right)}^2-3}=\sqrt{2}$.

Khoảng cách từ I đến $\Delta$ là $d\left(I;\Delta \right)=\frac{\left|2-\left(-1\right)+3\right|}{\sqrt{1^2+{\left(-1\right)}^2}}=3\sqrt{2}>R\Rightarrow$ Đường thẳng $△$ và đường tròn C không có điểm chung.

Ta có: $\left|z_1-z_2\right|=MN$, suy ra $\left|z_1-z_2\right|$ nhỏ nhất khi và chỉ khi MN nhỏ nhất.

Dễ thấy $\min MN=3\sqrt{2}-\sqrt{2}=2\sqrt{2}$ khi $M\left(-1;2\right), N\left(1;0\right)$,

Vậy $\left|z_1-z_2\right|$ nhỏ nhất bằng $2\sqrt{2}$ khi $z_1=-1+2i; z_2=1$

Khi đó $x_1+x_2+y_1+y_2=-1+2+1=2$