Cho biểu thức P = 2^x + 2^căn bậc hai của 1-4y^2

* Hướng dẫn giải

Đáp án B

Ta có: $26y^3+3\left(2y-x\right)-x^3=3xy\left(x+y\right)$$\iff {\left(3y\right)}^3+3\left(3y\right)={\left(x+y\right)}^3+3\left(x+y\right)$(1)

Dễ thấy $h\left(t\right)=t^3+3t$ đồng biến trên R nên

$\left(1\right)\iff 3y=x+y\iff 2y=x\Rightarrow P=2^x+2^{\sqrt{1-x^2}}$,$-1\le x\le 1$

$P^{\text{'}}=2^x\ln 2-\frac{x}{\sqrt{1-x}}{2}^{\sqrt{1-x^2}}\ln 2$. Nếu $-1<x\le 0$ thì P’>0.

Xét 0 < x < 1: Ta có:  $P^{\text{'}}=0\iff \frac{2^x}{x}=\frac{2^{\sqrt{1-x^2}}}{\sqrt{1-x^2}}\iff g\left(x\right)=g\left(\sqrt{1-x^2}\right)$ (*)

Xét $g\left(t\right)=\frac{2^t}{t}$, $t\in \left(0;1\right)$ có $g^{\text{'}}\left(t\right)=\frac{2^t\ln 2}{t^2}\left(t-\frac{1}{\ln 2}\right)<0$, $\forall t\in \left(0;1\right)$ hay y = g(t) nghịch biến trên (0;1). Khi đó $\left(*\right)\iff x=\sqrt{1-x^2}\Rightarrow x=\frac{1}{\sqrt{2}}$

Suy ra $\max P=\max \left\{P\left(-1\right);P\left(1\right);P\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\right\}={2.2}^{\frac{1}{\sqrt{2}}}$. Vậy $a=b=c=2\Rightarrow a+b-c=2$