Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn

* Hướng dẫn giải

Đáp án C

Số điểm cực trị của hàm số $y=\left|x^3-6x^2+\left(9-m\right)x+2m-2\right|$ bằng số điểm cực trị của hàm số $y=x^3-6x^2+\left(9-m\right)x+2m-2$ cộng với số nghiệm của phương trình $x^3-6x^2+\left(9-m\right)x+2m-2=0$. Xét hàm số $y=g\left(x\right)=x^3-6x^2+\left(9-m\right)x+2m-2$.

Ta có $g^{\text{'}}\left(x\right)=3x^2-12x+9-m$.

Yêu cầu bài toán tương đương phương trình $3x^2-12x+9-m=0$ có 2 nghiệm phân biệt x₁; x₂ sao cho $y\left(x_1\right).y\left(x_2\right)<0$. (*)

Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực đại, cực tiểu là $y=-\left(2+\frac{2m}{3}\right)x+\frac{4}{3}m+4=-\left(\frac{2}{3}m+2\right)\left(x-2\right)$

Ta có $\left(*\right)\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{\Delta }^{\text{'}}=9+3m>0\\ {\left(2+\frac{2m}{3}\right)}^2\left(x_1-2\right)\left(x_2-2\right)<0\end{array}\right.\Rightarrow m>-3$.

Vậy các giá trị của m thỏa mãn là $\left\{-2;-1;0;1;\mathrm{...};2019\right\}$.