Cho dãy số (un) xác định bởi công thức

* Hướng dẫn giải

Đáp án C

Từ công thức xác định dãy $\left(u_n\right)$ suy ra $u_n>0, \forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$

Ta có: $u_{n+2}=\frac{2u_n.u_{n+1}}{u_n+u_{n+1}}\iff \frac{1}{u_{n+2}}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{u_{n+1}}+\frac{1}{u_n}\right), \forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$

Đặt $v_n=\frac{1}{u_n}$, ta được $v_1=1$; $v_2=\frac{1}{2}$ và $v_{n+2}=\frac{1}{2}\left(v_{n+1}+v_n\right)$

$$\begin{gathered} \iff v_{n+2}+\frac{1}{2}{v}_{n+1}=v_{n+1}+\frac{1}{2}{v}_n, \forall n\in {\mathbb{N}}^{*} \\ \Rightarrow v_{n+1}+\frac{1}{2}{v}_n=v_2+\frac{1}{2}{v}_1=1, \forall n\in {\mathbb{N}}^{*} \\ \Rightarrow v_{n+1}=-\frac{1}{2}{v}_n+1, \forall n\in {\mathbb{N}}^{*} \\ \Rightarrow v_{n+1}-\frac{2}{3}=-\frac{1}{2}\left(v_n-\frac{2}{3}\right), \forall n\in {\mathbb{N}}^{*} \end{gathered}$$

Đặt $w_n=v_n-\frac{2}{3}\Rightarrow \left(w_n\right)$ là một cấp số nhân với $\left\{\begin{array}{l}{w}_1=\frac{1}{3}\\ q=-\frac{1}{2}\end{array}\right.$

$\begin{array}{l}\Rightarrow w_n=\frac{1}{3}.{\left(-\frac{1}{2}\right)}^{n-1}\\ \Rightarrow v_n=\frac{1}{3}{\left(-\frac{1}{2}\right)}^{n-1}+\frac{2}{3}\\ \Rightarrow u_n=\frac{1}{\frac{1}{3}{\left(-\frac{1}{2}\right)}^{n-1}+\frac{2}{3}}\end{array}$

Vậy $\lim u_n=\lim \frac{1}{\frac{1}{3}{\left(-\frac{1}{2}\right)}^{n-1}+\frac{2}{3}}=\frac{3}{2}$