Phương trình log 2 (cotx-tanx) = 1+cos2x-sin2x với

* Hướng dẫn giải

Đáp án B

Do $x\in \left(0;\frac{\pi }{4}\right)$ nên $\left\{\begin{array}{l}\cot x>1\\ 0<\tan x<1\end{array}\right.\Rightarrow \cot x-\tan x>0$.

$\cot x-\tan x=\frac{\cos x}{\sin x}-\frac{\sin x}{\cot x}=\frac{2\cos 2x}{\sin 2x}$ nên phương trình đã cho tương đương

${\log }_2\left(\frac{2\cos 2x}{\sin 2x}\right)=1+\cos 2x-\sin 2x$ 

$\iff {\log }_2\cos 2x-{\log }_2\sin 2x=\cos 2x-\sin 2x$ (do $0<\sin 2x,\cos 2x<1,\forall x\in \left(0;\frac{\pi }{4}\right)$)

$\iff {\log }_2\cos 2x-\cos 2x={\log }_2\sin 2x-\sin 2x$

Xét hàm số $f\left(t\right)={\log }_{2}t-t$ với $t\in \left(0;1\right)$.

Ta có $f\text{'}\left(t\right)=\frac{1}{t\ln 2}-1>0,\forall t\in \left(0;1\right)$ (vì $0<t<1\iff 0<t\ln 2<\ln 2<\ln e=1$)

$\Rightarrow \frac{1}{t\ln 2}>1\iff \frac{1}{t\ln 2}-1>0$

Suy ra hàm số f(t) đồng biến trên khoảng (0;1).

Suy ra $f\left(\cos 2x\right)=f\left(\sin 2x\right)\iff \cos 2x=\sin 2x\iff \tan 2x=1\Rightarrow x=\frac{\pi }{8}$.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là $x=\frac{\pi }{8}$.