Cho hai số thực x, y thỏa mãn x lớn hơn hoặc bằng 0

* Hướng dẫn giải

Đáp án D

Ta có:

$\begin{array}{l}P=\left(4x^2+3y\right)\left(4y^2+3x\right)+25xy\\ =16{\left(xy\right)}^2+34xy+12\left(x^3+y^3\right)\\ =16{\left(xy\right)}^2+34xy+12\left(x+y\right)\left[{\left(x+y\right)}^2-3xy\right]\\ =16{\left(xy\right)}^2-2xy+12.\end{array}$

Ta có: $0\le x\le \frac{{\left(x+y\right)}^2}{4}=\frac{1}{4};xy=0\iff x=0$ hoặc $y=0;xy=\frac{1}{4}\iff x=y=\frac{1}{2}$.

Đặt t = xy thì $P=f\left(t\right)=16t^2-2t+12$ với $t\in \left[0;\frac{1}{4}\right]$

$$\begin{gathered} f\text{'}\left(t\right)=32t-2;f\text{'}\left(t\right)=0 \\ \iff t=\frac{1}{16};f\left(0\right)=12;f\left(\frac{1}{16}\right)=\frac{191}{16};f\left(\frac{1}{4}\right)=\frac{25}{2} \end{gathered}$$

Vậy $M=\frac{25}{2};m=\frac{191}{16}$. Do đó $M+8m=108$