Cho a là số thực dương a khác 1. Biết bất phương trình

* Hướng dẫn giải

Đáp án A

Cách 1: Đặt $f\left(x\right)=2{\log }_{a}x-x+1$.

Ta có $\left\{\begin{array}{l}f\left(x\right)=2{\log }_{a}x-x+1\le 0\\ f\left(1\right)=0\end{array}\right.\left(\forall x>0\right)\Rightarrow \underset{\left(0;+\infty \right)}{\max }f\left(x\right)=0$.

Suy ra x = 1 là điểm cực đại của hàm số f(x).

Do đó $f\text{'}\left(1\right)=\frac{2}{\ln a}-1=0\iff \ln a=2\iff a=e^2\in \left(7;8\right)$.

Cách 2: $2{\log }_{a}x\le x-1\iff {\log }_{\sqrt{a}}x\le x-1\left(\forall a\ne 1;x>0\right)$ .

Yêu cầu bài toán tương đương đồ thị $y={\log }_{\sqrt{a}}x$ không nằm trên đường thẳng $y=x-1,\forall x>0\Rightarrow a>1$.

Suy ra đường thẳng phải là tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại

Do đó $y\text{'}\left(1\right)=\frac{1}{\ln \sqrt{a}}=0\iff \ln \sqrt{a}=1\iff a=e^2\in \left(7;8\right)$.