Cho a = log 7 12 và b = log 12 14. Biểu diễn

* Hướng dẫn giải

Đáp án D

Ta có $a={\log }_{7}12={\log }_7\left(2^2.3\right)=2{\log }_{7}2+{\log }_{7}3\left(1\right)$.

$\begin{array}{l}b={\log }_{12}14=\frac{{\log }_{7}14}{{\log }_{7}12}=\frac{{\log }_7\left(7.2\right)}{a}=\frac{1+{\log }_{7}2}{a}\\ \Rightarrow 1+{\log }_{7}2=ab\iff {\log }_{7}2=ab-1.\end{array}$

Thay ${\log }_{7}2=ab-1$ vào (1) ta được $a=2\left(ab-1\right)+{\log }_{7}3\Rightarrow {\log }_{7}3=a-2\left(ab-1\right)$.

Do đó 

$\begin{array}{l}c={\log }_{84}54=\frac{{\log }_{7}54}{{\log }_{7}84}=\frac{{\log }_7\left({2.3}^3\right)}{{\log }_7\left(2^2\mathrm{.3.7}\right)}\\ =\frac{{\log }_{7}2+3{\log }_{7}3}{2{\log }_{7}2+{\log }_{7}3+1}=\frac{3a+5\left(1-ab\right)}{a+1}.\end{array}$