Cho tích phân I = tích phân từ -1/2 đến 1/2

* Hướng dẫn giải

Đáp án A

Vì hàm số $f\left(x\right)=x\ln \left(\frac{1+x}{1-x}\right)$ là hàm số chẵn và liên tục trên $\left[-\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right]$ nên ta có:

$I=\underset{-\frac{1}{2}}{\overset{\frac{1}{2}}{\int }}\frac{x\ln \left(\frac{1+x}{1-x}\right)}{e^x+1}dx=\underset{0}{\overset{\frac{1}{2}}{\int }}x\ln \left(\frac{1+x}{1-x}\right)dx$.

Đặt ,$\left\{\begin{array}{l}u=\ln \left(\frac{1+x}{1-x}\right)\\ dv=xdx\end{array}\right.$ ta có: $\left\{\begin{array}{l}du=\frac{-2}{x^2-1}\\ v=\frac{1}{2}\left(x^2-1\right)\end{array}\right.$.

$$\begin{gathered} I=\frac{1}{2}\left(x^2-1\right)\ln \left(\frac{1+x}{1-x}\right)\left|\begin{array}{l}{}^{\frac{1}{2}}\\ {}_0\end{array}\right.+\underset{0}{\overset{\frac{1}{2}}{\int }}dx=-\frac{3}{8}\ln 3+\frac{1}{2} \\ \Rightarrow a=-\frac{3}{8};b=3;c=\frac{1}{2} \end{gathered}$$.

Vậy $a-b+c=-\frac{3}{8}-3+\frac{1}{2}=-\frac{23}{8}.$