Giá trị của m để bất phương trình 1+log 5 (x^2+1)

* Hướng dẫn giải

Đáp án C

Ta có:

$\begin{array}{l}1+{\log }_5\left(x^2+1\right)\ge {\log }_5\left(m{x}^2+4x+m\right)\\ \iff {\log }_{5}5+{\log }_5\left(x^2+1\right)\ge {\log }_5\left(m{x}^2+4x+m\right)\\ \iff {\log }_{5}5\left(x^2+1\right)\ge {\log }_5\left(m{x}^2+4x+m\right).\end{array}$

Bất phương trình thỏa mãn với mọi $x\in ℝ\iff \left\{\begin{array}{l}m{x}^2+4x+m>0\\ 5\left(x^2+1\right)\ge m{x}^2+4x+m\end{array}\right.,\forall x\in ℝ$

$\begin{array}{l}\iff \left\{\begin{array}{l}m{x}^2+4x+m>0\\ \left(5-m\right)x^2-4x+5-m\ge 0\end{array}\right.,\forall x\in ℝ\\ \iff \left\{\begin{array}{l}m>0\\ 16-4m^2<0\\ 5-m>0\\ 16-4{\left(5-m\right)}^2\le 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m>0\\ \left[\begin{array}{l}m<-2\\ m>2\end{array}\right.\\ m<5\\ \left[\begin{array}{l}m\le 3\\ m\ge 7\end{array}\right.\end{array}\right.\\ \iff 2<m\le 3.\end{array}$

Lưu ý: Sử dụng dấu tam thức bậc hai không đổi trên R:

$\begin{array}{l}+f\left(x\right)=a{x}^2+bx+x\ge 0,\forall x\in ℝ\iff \left\{\begin{array}{l}a>0\\ \Delta \le 0\end{array}\right..\\ +f\left(x\right)=a{x}^2+bx+x>0,\forall x\in ℝ\iff \left\{\begin{array}{l}a>0\\ \Delta <0\end{array}\right..\end{array}$