Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1;2;1), B(3;−1;1) và C(−1;−1;1)

* Hướng dẫn giải

Đáp án B

Gọi phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc với cả ba mặt cầu đã cho có phương trình là $ax+by+cz+d=0$ (điều kiện $a^2+b^2+c^2>0$).

Khi đó ta có hệ điều kiện sau:

$\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}d\left(A;\left(P\right)\right)=2\\ d\left(B;\left(P\right)\right)=1\\ d\left(C;\left(P\right)\right)=1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\frac{\left|a+2b+c+d\right|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}=2\\ \frac{\left|3a-b+c+d\right|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}=1\\ \frac{\left|-a-b+c+d\right|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}=1\end{array}\right.\\ \iff \left\{\begin{array}{l}\left|a+2b+c+d\right|=2\sqrt{a^2+b^2+c^2}\\ \left|3a-b+c+d\right|=2\sqrt{a^2+b^2+c^2}\\ \left|-a-b+c+d\right|=2\sqrt{a^2+b^2+c^2}\end{array}\right.\end{array}$

Khi đó ta có: 

$\begin{array}{l}\left|3a-b+c+d\right|=\left|-a-b+c+d\right|\\ \iff \left[\begin{array}{l}3a-b+c+d=-a-b+c+d\\ 3a-b+c+d=a+b-c-d\end{array}\right.\\ \iff \left[\begin{array}{l}a=0\\ a-b+c+d=0\end{array}\right.\end{array}$

Với a = 0 thì

$\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}\left|2b+c+d\right|=2\sqrt{b^2+c^2}\\ \left|2b+c+d\right|=2\left|-b+c+d\right|\end{array}\right.\\ \iff \left\{\begin{array}{l}\left|2b+c+d\right|=2\sqrt{b^2+c^2}\\ 4b-c-d=0\\ c+d=0\end{array}\right.\\ \iff \left[\begin{array}{l}c=d=0,b\ne 0\\ c+d=4b,c=\pm 2\sqrt{2}b\end{array}\right..\end{array}$

Do đó có 3 mặt phẳng thỏa mãn bài toán.

Với $a-b+c+d=0$ thì ta có

$\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}\left|3b\right|=2\sqrt{a^2+b^2+c^2}\\ \left|2a\right|=\sqrt{a^2+b^2+c^2}\end{array}\right.\\ \iff \left\{\begin{array}{l}\left|3b\right|=4\left|a\right|\\ \left|2a\right|=\sqrt{a^2+b^2+c^2}\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}\left|b\right|=\frac{4}{3}\left|a\right|\\ \left|c\right|=\frac{\sqrt{11}}{3}\left|a\right|\end{array}\right..\end{array}$

Do đó có 4 mặt phẳng thỏa mãn bài toán.

Vậy có 7 mặt phẳng thỏa mãn bài toán.