Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d: x-2/1

* Hướng dẫn giải

Đáp án B

Gọi I là trung điểm của AB. Khi đó ta có:

$\begin{array}{l}M{A}^4+M{B}^4={\left(M{A}^2+M{B}^2\right)}^2-2M{A}^2.M{B}^2\\ ={\left(2M{I}^2+\frac{A{B}^2}{2}\right)}^2-2{\left(M{I}^2-\frac{A{B}^2}{2}\right)}^2\\ =4.M{I}^4+2M{I}^{2}A{B}^2+\frac{A{B}^4}{4}-2.M{I}^4+M{I}^{2}A{B}^2-\frac{A{B}^4}{8}\\ =2.M{I}^4+3M{I}^{2}A{B}^2+\frac{A{B}^4}{8}=2{\left(M{I}^2+\frac{3A{B}^2}{4}\right)}^2-A{B}^4\end{array}$

Do đó MA⁴+MB⁴ đạt giá trị nhỏ nhất khi MI nhỏ nhất $\iff$ M là hình chiếu vuông góc của I lên d.

Điểm I(2;−1;0). Lấy $M\left(2+t;-1+2t;3t\right)\in d.\overrightarrow{IM}=\left(t;2t;3t\right)$.

$\overrightarrow{IM}\perp \overrightarrow{u_d}\iff \overrightarrow{IM}.\overrightarrow{u_d}=0\iff t+4t+9t=0\iff t=0$.

Suy ra $M\equiv I\left(2;-1;0\right)$. Vậy $2a+3b+c=1$