Cho hàm số f(x) liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ

* Hướng dẫn giải

Đáp án A

Đặt $t=5\sin x-1\Rightarrow dt=5\cos xdx\Rightarrow \cos xdx=\frac{1}{5}dt$.

Đổi cận $x=0\Rightarrow t=-1;x=\frac{\pi }{2}\Rightarrow t=4$.

Khi đó

$$\begin{gathered} \underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\cos x.f\left(5\sin x-1\right)dx=\underset{-1}{\overset{4}{\int }}f\left(t\right)\frac{1}{5}dt \\ =\frac{1}{5}\underset{-1}{\overset{4}{\int }}f\left(t\right)dt=\frac{1}{5}\left(\underset{-1}{\overset{1}{\int }}f\left(t\right)dt+\underset{1}{\overset{4}{\int }}f\left(t\right)dt\right) \end{gathered}$$

Mặt khác $\left\{\begin{array}{l}3=\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\left|f\left(t\right)\right|dt=\underset{-1}{\overset{1}{\int }}f\left(t\right)dt\\ 7=\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left|f\left(t\right)\right|dt=-\underset{1}{\overset{4}{\int }}f\left(t\right)dt\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\underset{-1}{\overset{1}{\int }}f\left(t\right)dt=3\\ \underset{1}{\overset{4}{\int }}f\left(t\right)dt=-7\end{array}\right.$. Vậy $I=\frac{1}{5}\left(3-7\right)=-\frac{4}{5}$