Cho số phức z thỏa mãn |z| = 1. Gọi M, m lần lượt là

* Hướng dẫn giải

Đáp án A

Ta có: $\left|z\right|=1\Rightarrow x^2=1-y^2$ với $y\in \left[-1;1\right]$.

$\begin{array}{l}P=\left|z+i\right|+2\left|z-2i\right|\\ =\sqrt{x^2+{\left(y+1\right)}^2}+2\sqrt{x^2+{\left(y-2\right)}^2}\\ =\sqrt{1-y^2+{\left(y+1\right)}^2}+2\sqrt{1-y^2+{\left(y-2\right)}^2}\\ =\sqrt{2+2y}+2\sqrt{5-4y}=\sqrt{2\left(1+y\right)}+2\sqrt{5-4y}\end{array}$

Xét hàm số $g\left(x\right)=\sqrt{2\left(1+y\right)}+2\sqrt{5-4y}$ với $y\in \left[-1;1\right]$.

$\begin{array}{l}g\text{'}\left(y\right)=\frac{1}{\sqrt{2\left(1+y\right)}}-\frac{4}{\sqrt{5-4y}}.\\ g\text{'}\left(y\right)=0\iff y=-\frac{3}{4}.\\ g\left(-1\right)=6;g\left(1\right)=4;g\left(-\frac{3}{4}\right)=\frac{9\sqrt{2}}{2}.\end{array}$

Do đó $\max P=M=\frac{9\sqrt{2}}{2};\min P=m=4$. Suy ra $E=\frac{49}{2}$