Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x^2 -4x +54/x-2 trên khoảng

* Hướng dẫn giải

Chọn C

Cách 1: Sử dụng bảng biến thiên

$y^{\text{'}}=2\text{x}-4-\frac{54}{{\left(x-2\right)}^2}=\frac{2\left[{\left(x-2\right)}^3-27\right]}{{\left(x-2\right)}^2};$$y\text{'}=0\iff x-2=3\iff x=5$.

Lập bảng biến thiên ta tìm được $\underset{\left(2;+\infty \right)}{\min }y=y\left(5\right)=23$.

Cách 2: Sử dụng bất đẳng thức Côsi cho 3 số dương ${\left(x-2\right)}^2;\frac{27}{x-2};\frac{27}{x-2}$.

Ta có $y=x^2-4\text{x}+\frac{54}{x-2}$$=\left[{\left(x-2\right)}^2+\frac{27}{x-2}+\frac{27}{x-2}\right]-4\ge 3\sqrt[3]{{27}^2}-4$$\Rightarrow y\ge 23$.

Đẳn thức xảy ra khi ${\left(x-2\right)}^2=\frac{27}{x-2}\Rightarrow x=5$.

Vậy $\underset{\left(2;+\infty \right)}{\min }y=y\left(5\right)=23$.