Cho phương trình 4 log^2 9 x + m log 1/3 x + 1/6 log

* Hướng dẫn giải

Chọn C

Ta có:

$$\begin{gathered} 4{\log }_9^{2}x+m{\log }_{\frac{1}{3}}x+\frac{1}{6}{\log }_{\frac{1}{\sqrt{3}}}x+m-\frac{2}{9}=0\left(x>0\right) \\ \iff 4{\left({\log }_{3^2}x\right)}^2+m{\log }_{3^{-1}}x+\frac{1}{6}{\log }_{3^{\frac{-1}{2}}}x+m-\frac{2}{9}=0 \\ \iff 4{\left(\frac{1}{2}{\log }_{3}x\right)}^2-m{\log }_{3}x-\frac{1}{3}{\log }_{3}x+m-\frac{2}{9}=0 \end{gathered}$$

$\iff {\log }_3^{2}x-\left(m+\frac{1}{3}\right){\log }_{3}x+m-\frac{2}{9}=0$ (1).

Đặt $t={\log }_{3}x$. Khi đó phương trình (1) $\iff t^2-\left(m+\frac{1}{3}\right)t+m-\frac{2}{9}=0$ (2).

Phương trình đã cho có hai nghiệm $x_1,x_2$ thỏa mãn $x_1{x}_2=3\iff {\log }_3\left(x_1{x}_2\right)=1$ $\iff {\log }_3{x}_1+{\log }_3{x}_2=1\iff t_1+t_2=1$

(với $t_1={\log }_3{x}_1$ và $t_2={\log }_3{x}_2$).

Áp dụng hệ thức Vi-ét cho phương trình (2) ta có $t_1+t_2=1\iff \left(m+\frac{1}{3}\right)=1\iff m=\frac{2}{3}$.

Vậy $0<m<\frac{3}{2}$ là mệnh đề đúng.