Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’. Đường thẳng đi qua trọng tâm

* Hướng dẫn giải

Chọn B

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Gọi E là trung điểm của $BC\Rightarrow \frac{AG}{A\text{E}}=\frac{2}{3}$.

Đường thẳng d đi qua G và song song BC, cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại M, N.

$\Rightarrow \frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{AG}{A\text{E}}=\frac{2}{3}\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}AM=\frac{2}{3}AB\\ AN=\frac{2}{3}AC\end{array}\right.$$\Rightarrow S_{\Delta AMN}=\frac{4}{9}{S}_{\Delta ABC}$(1)

Ta có $V_{ABC.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=S_{\Delta ABC}.A{A}^{\text{'}}$ và $V_{A^{\text{'}}.AMN}=\frac{1}{3}{S}_{\Delta AMN}.A{A}^{\text{'}}$ (2)

Từ (1) và (2), suy ra $V_{A^{\text{'}}.AMN}=\frac{4}{27}{V}_{ABC.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}\Rightarrow V_{BMNC{A}^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=\frac{23}{27}{V}_{ABC.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}$.

Khi đó tỉ số: $\frac{V_{A^{\text{'}}.AMN}}{V_{BMNC.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}}=\frac{\frac{4}{27}}{\frac{23}{27}}=\frac{4}{23}$