Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số

* Hướng dẫn giải

Đáp án B

Ta có:

$$\begin{gathered} y^{\text{'}}=\frac{-\left(1+{\cot }^{2}x\right)\left(m\cot x-1\right)+m\left(1+{\cot }^{2}x\right)\left(\cot x-1\right)}{{\left(m\cot x-1\right)}^2} \\ =\frac{\left(1+{\cot }^{2}x\right)\left(1-m\right)}{{\left(m\cot x-1\right)}^2} \end{gathered}$$

Hàm số đồng biến trên khoảng $\left(\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{2}\right)$ khi và chỉ khi: 

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}m\cot x-1\ne 0,\forall x\in \left(\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{2}\right)\\ y^{\text{'}}=\frac{\left(1+{\cot }^{2}x\right)\left(1-m\right)}{{\left(m\cot x-1\right)}^2}>0,\forall x\in \left(\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{2}\right)\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}\left[\begin{array}{l}m\le 0\\ m\ge 1\end{array}\right.\\ 1-m>0\end{array}\right.\iff m\le 0 \end{gathered}$$