Cho hàm số f(x) thỏa mãn f'(x).[f(x)ư^2018 = x.e^x

* Hướng dẫn giải

Đáp án D 

Ta có: 

$$\begin{gathered} \int f^{\text{'}}\left(x\right){\left[f\left(x\right)\right]}^{2018}dx=\int x{e}^{x}dx \\ \iff \int {\left[f\left(x\right)\right]}^{2018}df\left(x\right)=\left(x-1\right).e^x+C \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \iff \frac{1}{2019}.{\left[f\left(x\right)\right]}^{2019}=\left(x-1\right).e^x+C \\ \iff {\left[f\left(x\right)\right]}^{2019}=2019\left(x-1\right).e^x+2019C \end{gathered}$$

Do $f\left(1\right)=1$ nên $2019C=1$ hay ${\left[f\left(x\right)\right]}^{2019}=2019\left(x-1\right).e^x+1$.

Ta có:

$$\begin{gathered} f\left(x\right)=-\frac{1}{e}\iff {\left[f\left(x\right)\right]}^{2019}=-\frac{1}{e^{2019}} \\ \iff 2019\left(x-1\right).e^x+1+\frac{1}{e^{2019}}=0 \end{gathered}$$

Xét hàm số $g\left(x\right)=2019\left(x-1\right).e^x+1+\frac{1}{e^{2019}}$ trên R.

Ta có $\left\{\begin{array}{l}{g}^{\text{'}}\left(x\right)=2019x.e^x;g^{\text{'}}\left(x\right)=0\iff x=0;g\left(0\right)=-2019+1+\frac{1}{e^{2019}}<0\\ \underset{x\to +\infty }{\lim }g\left(x\right)=+\infty ;\underset{x\to -\infty }{\lim }g\left(x\right)=1+\frac{1}{e^{2019}}>0\end{array}\right.$.

Bảng biến thiên của hàm số:

Do đó phương trình $f\left(x\right)=-\frac{1}{e}$ có đúng 2 nghiệm.