Cho hình chóp đều S.ABC có AB=2a, khoảng cách từ A đến (SBC) là

* Hướng dẫn giải

Đáp án D

Gọi M là trung điểm của BC và G là trọng tâm $\Delta ABC$.

Ta có: $SG\perp \left(ABC\right)\Rightarrow SG\perp BC$. Mà $AM\perp BC$ nên $BC\perp \left(SAM\right)$.

Kẻ $AH\perp SM$ tại H. Suy ra: $AH\perp \left(SBC\right)$

$\Rightarrow d\left(A,\left(SBC\right)\right)=AH=\frac{3a}{2}$.

Ta có: $AM=a\sqrt{3},GM=\frac{a\sqrt{3}}{3}$.

Đặt SG = x với x > 0.

Ta có: $SM=\sqrt{S{G}^2+G{M}^2}=\sqrt{x^2+\frac{a^2}{3}}$.

Mặt khác: 

$$\begin{gathered} SG.AM=AH.SM\Rightarrow x.a\sqrt{3}=\frac{3a}{2}.\sqrt{x^2+\frac{a^2}{3}} \\ \iff x^2=\frac{3}{4}\left(x^2+\frac{a^2}{3}\right)\iff \frac{x^2}{4}=\frac{a^2}{4}\Rightarrow x=a \end{gathered}$$

Lại có $S_{\Delta ABC}=\frac{{\left(2a\right)}^2.\sqrt{3}}{4}=\sqrt{3}{a}^2$.

Vậy $V_{S.ABC}=\frac{1}{3}{S}_{\Delta ABC}.SG=\frac{1}{3}.\sqrt{3}{a}^2.a=\frac{\sqrt{3}{a}^3}{3}$.