Cho hàm số f(x) = x^3 +x^2 +mx với tham số thực m

* Hướng dẫn giải

Đáp án B

Tập xác định: D = R.

Ta có: $f^{\text{'}}\left(x\right)=3x^2+2x+m$. Xét $f^{\text{'}}\left(x\right)=0\iff 3x^2+2x+m=0$.

Để hàm số có cực trị thì ${\Delta }^{\text{'}}=1-3m>0\iff m<\frac{1}{3}\left(*\right)$.

Gọi x₀ là điểm cực trị của hàm số mà giá trị cực trị tương ứng là 1. Ta có:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}{f}^{\text{'}}\left(x_0\right)=3x_0^2+2x_0+m=0\\ f\left(x_0\right)=x_0^3+x_0^2+m{x}_0=1\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}m=-\left(3x_0^2+2x_0\right)\\ x_0^3+x_0^2-\left(3x_0^2+2x_0\right)x_0=1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m=-1\\ x_0=-1\end{array}\right. \end{gathered}$$

Với m = −1 hàm số trở thành:

$$\begin{gathered} f\left(x\right)=x^3+x^2-x \\ {f}^{\text{'}}\left(x\right)=3x^2+2x-1=0 \\ \iff \left[\begin{array}{l}x=-1\\ x=\frac{1}{3}\end{array}\right.\Rightarrow \left[\begin{array}{l}f\left(-1\right)=1\\ f\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{-5}{27}\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vậy giá trị cực trị còn lại của hàm số là $\frac{-5}{27}$.