Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(a;0;0), B(0;b;0)

* Hướng dẫn giải

Đáp án D

Gọi $\left\{\begin{array}{l}OA=a\\ OB=b\\ OC=c\end{array}\right.$, ta có bán kính đường tròn ngoại tiếp $R=\frac{1}{2}\sqrt{a^2+b^2+c^2}$.

Bán kính đường tròn nội tiếp: $r=\frac{3V}{S_{tp}}=\frac{3.\frac{abc}{6}}{\frac{ab+bc+ca}{2}+S_{\Delta ABC}}$

$$\begin{gathered} \Rightarrow r=\frac{abc}{ab+bc+ca+\sqrt{a^2{b}^2+b^2{c}^2+c^2{a}^2}} \\ \Rightarrow \frac{R}{r}=\frac{ab+bc+ca+\sqrt{a^2{b}^2+b^2{c}^2+c^2{a}^2}}{2abc}\sqrt{a^2+b^2+c^2} \\ \ge \frac{\sqrt[3]{a^2{b}^2{c}^2}+\sqrt{3{\left(\sqrt[3]{a^2{b}^2{c}^2}\right)}^4}}{2abc}\sqrt{3{\left(\sqrt[3]{a^2{b}^2{c}^2}\right)}^4} \end{gathered}$$

Dấu “=” xảy ra khi $a=b=c=3\Rightarrow \frac{R}{r}=\frac{3+3\sqrt{3}}{2}$.

Vậy $k_{\min }=\frac{3+3\sqrt{3}}{2}\in \left(4;5\right)$.