Cho dãy số (un) thỏa mãn u1 = 1, un+1 = căn bậc hai của a un^2

* Hướng dẫn giải

Đáp án A

Ta có

$$\begin{gathered} u_{n+1}=\sqrt{a{u}_n^2+1}\iff u_{n+1}^2=a{u}_n^2+1 \\ \iff u_{n+1}^2-\frac{1}{1-a}=a\left(u_n^2-\frac{1}{1-a}\right) \end{gathered}$$ 

Đặt $v_n=u_n^2-\frac{1}{1-a}\Rightarrow v_{n+1}=a{v}_n\Rightarrow \left(v_n\right)$ là cấp số nhân với công bội q = a.

Suy ra $v_n=v_1{a}^{n-1}=\left(u_1^2-\frac{1}{1-a}\right)a^{n-1}=a^{n-1}.\frac{a}{a-1}$$\Rightarrow u_n^2=a^{n-1}.\frac{a}{a-1}+\frac{1}{1-a}$.

Ta có: 

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}{u}_1^2=\frac{a}{a-1}+\frac{1}{1-a}\\ u_2^2=a.\frac{a}{a-1}+\frac{1}{1-a}\\ \mathrm{.............................}\\ u_n^2=a^{n-1}.\frac{a}{a-1}+\frac{1}{1-a}\end{array}\right. \\ \Rightarrow u_1^2+u_2^2+\mathrm{...}+u_n^2=\frac{a}{a-1}\left(1+a+\mathrm{...}+a^{n-1}\right)+\frac{1}{1-a}.n \end{gathered}$$

$\Rightarrow u_1^2+u_2^2+\mathrm{...}+u_n^2-\frac{1}{1-a}.n=\frac{a}{a-1}.\frac{1-a^n}{1-a}$.

Khi đó $\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{1-a}=2\Rightarrow a=\frac{1}{2}\\ b=lim\left(\frac{a}{a-1}.\frac{1-a^n}{1-a}\right)=-2\end{array}\right.\Rightarrow T=-1$.