Diện tích của đa giác tạo bởi các điểm trên đường tròn lượng giác

* Hướng dẫn giải

Đáp án C

Ta có phương trình: ${\cos }^{2}x+3\sin x.\cos x=1\iff 3\sin x.\cos x-{\sin }^{2}x=0$

$$\begin{gathered} \iff \sin x\left(3\cos x-\sin x\right)=0 \\ \iff \left[\begin{array}{l}\sin x=0\\ \tan x=3\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}x=k\pi \\ x=\alpha +k\pi \end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right) \end{gathered}$$

với $\tan \alpha =3$

Gọi A; B là các điểm biểu diễn cho họ nghiệm $x=k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$ trên đường tròn lượng giác.

Gọi C; D là các điểm biểu diễn cho họ nghiệm $x=\alpha +k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$ trên đường tròn lượng giác.

Ta cần tính diện tích hình chữ nhật ACBD.

Xét tam giác vuông AOT có: $OT=\sqrt{O{A}^2+A{T}^2}=\sqrt{10}$$\Rightarrow \sin \alpha =\frac{AT}{OT}=\frac{3}{\sqrt{10}}\left(*\right)$

Xét tam giác ACD có: 

$\widehat{ADC}=\frac{\alpha }{2}\Rightarrow \sin \frac{\alpha }{2}=\frac{AC}{2}$ và $\cos \frac{\alpha }{2}=\frac{AD}{2}$.

Từ $\left(*\right)\iff 2\sin \frac{\alpha }{2}.\cos \frac{\alpha }{2}=\frac{3}{\sqrt{10}}$$\iff 2.\frac{AC}{2}.\frac{AD}{2}=\frac{3}{\sqrt{10}}$$\iff AC.AD=\frac{6}{\sqrt{10}}\Rightarrow S_{ACBD}=\frac{3\sqrt{10}}{5}$