Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn 2^ln(x + y/2).5^ln(x + y) = 2^ln5. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Ta có

$2^{\ln \left(\frac{x+y}{2}\right)}{.5}^{\ln \left(x+y\right)}=2^{\ln 5}$

$\iff {\left(x+y\right)}^{\ln 2}.{\left(x+y\right)}^{\ln 5}=2^{\ln 2}{.2}^{\ln 5}$

$\iff {\left(x+y\right)}^{\ln 2+\ln 5}=2^{\ln 2+\ln 5}$

$\iff x+y=2$

$\iff y=2-x\Rightarrow 0<x<2$

Khi đó $P=\left(x+1\right)\ln x+\left(y+1\right)\ln y=\left(x+1\right)\ln x+\left(3-x\right)\ln \left(2-x\right),0<x<2$

* $P\text{'}=\ln x+\left(x+1\right)\frac{1}{x}-\ln \left(2-x\right)-\frac{x-3}{x-2}=\ln x-\ln \left(2-x\right)+\frac{1}{x}+\frac{1}{x-2}$

* $P"=\frac{1}{x}+\frac{1}{2-x}-\frac{1}{x^2}-\frac{1}{{\left(2-x\right)}^2}=\frac{-4{\left(x-1\right)}^2}{x^2{\left(2-x\right)}^2}\le 0,\forall x\in \left(0;2\right)$

Suy ra phương trình $P\text{'}=0$ có nhiều nhất 1 nghiệm mà $P\left(1\right)=0\iff x=1.$

BBT

Dựa theo BBT thì $P_{max}=0.$

Chọn C.