Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B và có AB = BC = aA

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.

Khi đó $A\left(0;0;0\right),B\left(a;0;0\right),C\left(a;a;0\right),D\left(0;2a;0\right),S\left(0;0;a\right).$

Do M, N lần lượt là trung điểm của SB, CD nên M, N có tọa độ lần lượt là:

$M\left(\frac{a}{2};0;\frac{a}{2}\right),N\left(\frac{a}{2};\frac{3a}{2};0\right)\Rightarrow \overrightarrow{MN}=\left(0;\frac{3a}{2};\frac{-a}{2}\right)$

$\Rightarrow \overrightarrow{u_1}=\left(0;3;-1\right)$ là vectơ chỉ phương của đường thẳng MN.

Gọi K là trung điểm của $AD\Rightarrow ABCK$ là hình bình hành.

Suy ra: $CK=AB=a=\frac{1}{2}CD\Rightarrow$ Tam giác ACD vuông tại C.

Ta có $\left\{\begin{array}{l}CD\perp AC\\ CD\perp SA\end{array}\right.\Rightarrow CD\perp \left(SAC\right)$

Mà: $\overrightarrow{CD}=\left(-a;a;0\right)\Rightarrow \overrightarrow{n_1}=\left(-1;1;0\right)$ là vectơ pháp tuyến của $mp\left(SAC\right)$.

Gọi $\alpha$ là góc giữa MN và $mp\left(SAC\right)$.

Ta có: $\sin \alpha =\frac{\left|\overrightarrow{u_1}.\overrightarrow{n_1}\right|}{\left|\overrightarrow{u_1}\right|.\left|\overrightarrow{n_1}\right|}=\frac{3\sqrt{5}}{10}\Rightarrow \cos \alpha =\sqrt{1-{\sin }^2\alpha }=\frac{\sqrt{55}}{10}.$

Chọn A.