Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có mặt đáy ABC là tam giác đều cạnh AB = 2a. Hình chiếu

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC, AM

Vì ABC là tam giác đều nên $BM\perp AC$

Mà HN song song với BM nên $HN\perp AC$

Ta có $\left\{\begin{array}{l}A\text{'}H\perp AC\\ HN\perp AC\end{array}\right.\Rightarrow AC\perp \left(A\text{'}HN\right)\Rightarrow \left(ACC\text{'}A\text{'}\right)\perp \left(A\text{'}HN\right)$ theo giao tuyến A'N

Hạ $HI\perp A\text{'}N\Rightarrow HI\perp \left(ACC\text{'}A\text{'}\right)$ do đó $d\left(H;\left(ACC\text{'}A\text{'}\right)\right)=HI$

Có $d\left(B;\left(ACC\text{'}A\text{'}\right)\right)=2.d\left(H\left(ACC\text{'}A\text{'}\right)\right)=2HI$

Ta có $BM=a\sqrt{3};HN=\frac{1}{2}BM=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Vì $A\text{'}H\perp \left(ABC\right)$ nên hình chiếu của Â' trên mặt phẳng đáy (ABC) là AH do đó góc giữa cạnh bên AA' và mặt đáy là $\widehat{A\text{'}AH}={60}^0$

$A\text{'}H=AH.\tan {60}^0=a\sqrt{3}$

$\frac{1}{H{I}^2}=\frac{1}{H{N}^2}+\frac{1}{A\text{'}{H}^2}\Rightarrow HI=\frac{a\sqrt{15}}{5}.$ 

Vậy $h=\frac{2a\sqrt{15}}{5}.$

Chọn D.