Cho hàm số f(x) liên tục trên R và có đồ thị f'(x) như hình vẽ bên. Bất phương trình

* Hướng dẫn giải

Điều kiện $f\left(x\right)+m+2>0$

Đặt $t={\log }_6\left[f\left(x\right)+m+2\right]\Rightarrow f\left(x\right)+m+2=5^t$

Bất phương trình đã cho trở thành $t+5^t>6$

Xét hàm $g\left(t\right)=t+5^t$

$g\text{'}\left(t\right)=1+5^t.\ln 5>0,\forall t$ do đó g(t) là hàm đồng biến

Mà g(1) = 6 nên $t+5^t>6\iff t>1$

Bất phương trình ${\log }_5\left[f\left(x\right)+m+2\right]+f\left(x\right)>4-m$ đúng với mọi $x\in \left(-1;4\right)$ khi và chỉ khi 

$\left\{\begin{array}{l}f\left(x\right)+m+2>0\\ {\log }_5\left[f\left(x\right)+m+2\right]>1\end{array}\right.,\forall x\in \left(-1;4\right)\iff \left\{\begin{array}{l}f\left(x\right)>-m-2\\ f\left(x\right)>-m+3\end{array}\right.,\forall x\in \left(-1;4\right)$

$\iff f\left(x\right)>-m+3,,\forall x\in \left(-1;4\right)$

Xét hàm f(t) trên (-1;4)

 

 

Quan sát đồ thị của hàm số f'(x) ta có

$\underset{-1}{\overset{1}{\int }}f\text{'}\left(x\right)dx<-\underset{1}{\overset{4}{\int }}f\text{'}\left(x\right)dx\iff f\left(1\right)-f\left(-1\right)<f\left(1\right)-f\left(4\right)\iff f\left(-1\right)>f\left(4\right).$

Dựa vào bảng biến thiên của hàm f(x) trên [-1;4] và dựa vào nhận xét f(-1) > f (4) ta có $f\left(x\right)>-m+3,\forall x\in \left(-1;4\right)$ khi $f\left(4\right)\ge -m+3\iff m\ge 3-f\left(4\right).$

Chọn A.