Cho hàm số f(x). Hàm số f'(x) có bảng biến thiên như sau: Bất phương trình

Chọn A.

Xét hàm số $g\left(x\right)=f\left(x\right)-{\sin }^{2}x-3m$ trên khoảng $\left(0;\frac{\pi }{2}\right).$

Do trên khoảng $\left(0;\frac{\pi }{2}\right),1<f\text{'}\left(x\right)<6$ nên $g\text{'}\left(x\right)=f\text{'}\left(x\right)-\sin 2x>0,\forall x\in \left(0;\frac{\pi }{2}\right)$.

Như vậy hàm số y = g(x) đồng biến trên khoảng $\left(0;\frac{\pi }{2}\right)$ và $g\left(x\right)<g\left(\frac{\pi }{2}\right)=f\left(\frac{\pi }{2}\right)-1-3m$.

Bất phương trình $f\left(x\right)<{\sin }^{2}x+3m,\forall x\in \left(0;\frac{\pi }{2}\right)$ khi và chỉ khi $g\left(x\right)<0,\forall x\in \left(0;\frac{\pi }{2}\right)$.

Hay $f\left(\frac{\pi }{2}\right)-1-3m\le 0\iff m\ge \frac{1}{3}\left[f\left(\frac{\pi }{2}\right)-1\right].$