Trong không gian Oxyz, cho A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1). Gọi P là mặt phẳng

Chọn C.

Ta có phương trình mặt phẳng ABC là $x+y+z=1$ và 1 vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_1}=\left(1;1;1\right).$

$\overrightarrow{BC}=\left(0;-1;1\right).$ Một vectơ pháp tuyến của (P) là $\overrightarrow{n_2}=\left[\overrightarrow{n_1},\overrightarrow{BC}\right]=\left(2;-1;-1\right).$

Suy ra phương trình mặt phẳng (P) là $2x-y-z+1=0.$

Gọi H là trung điểm BC, I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S.ABC 

ta có $H\left(0;\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)$ và IH vuông góc với mặt phẳng (P). Như vậy phương trình đường thẳng IH là $\left\{\begin{array}{l}x=2t\\ y=\frac{1}{2}-t\\ z=\frac{1}{2}-t\end{array}\right..$

Gọi $I\left(2t;\frac{1}{2}-t;\frac{1}{2}-t\right)\in IH,$ ta có

$IA=IB\iff \sqrt{{\left(2t-1\right)}^2+{\left(t-\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(t-\frac{1}{2}\right)}^2}=\sqrt{{\left(2t\right)}^2+{\left(t+\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(t-\frac{1}{2}\right)}^2}\iff t=\frac{1}{6}\iff I\left(\frac{1}{3};\frac{1}{3};\frac{1}{3}\right).$

Khi đó khoảng cách từ I đến mặt phẳng (Q) bằng $d\left(I,\left(Q\right)\right)=\frac{\left|2.\frac{1}{3}-3.\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+1\right|}{\sqrt{2^2+{\left(-3\right)}^2+1^2}}=\frac{1}{\sqrt{14}}.$