Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy là tam giác ABC vuông cân tại A, BC=4a , AA' vuông góc với mặt phẳng (ABC) . Góc giữa (AB'C) và (BB'C) bằng 60 độ . Thể tích lăng trụ bằng:

Đáp án D

Từ $A$  kẻ $AI\perp BC\Rightarrow I$  là trung điểm $BC$ .

Ta có $BB\text{'}\perp \left(ABC\right)\Rightarrow BB\text{'}\perp AI\Rightarrow AI\perp \left(BB\text{'}C\text{'}C\right)\Rightarrow AI\perp B\text{'}C$ .

Kẻ $IM\perp B\text{'}C$  khi đó $B\text{'}C\perp MA$  .

$\Rightarrow$Góc giữa $\left(AB\text{'}C\right)$ và $\left(BB\text{'}C\right)$  bằng góc $\widehat{AMI}={60}^0$ .

Ta có: $\begin{array}{l}AI=\frac{1}{2}BC=2a;IM=\frac{2a}{\sqrt{3}}\\ \Rightarrow \sin \widehat{MCI}=\frac{IM}{IC}=\frac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow \cos \widehat{MCI}=\frac{\sqrt{6}}{3}\Rightarrow \tan \widehat{MCI}=\frac{1}{\sqrt{2}}\\ \Rightarrow BB\text{'}=2a\sqrt{2}\\ \Rightarrow V_{ABC.A\text{'}B\text{'}C\text{'}}=8a^3\sqrt{2}\end{array}$