Cho hàm số y=f(x) có đồ thị như hình bên. Có bao nhiêu số nguyên m để bất phương trình (x^3-x^2+x-m)f(x) nhỏ hơn hoặc bằng 0 nghiệm đúng với mọi

Đáp án A

Đặt $g\left(x\right)=\left(x^3-x^2+x-m\right)$  .

Từ đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$  ta có $\left\{\begin{array}{l}f\left(x\right)\ge \mathrm{0,}\forall x\in \left[-2;1\right]\\ f\left(x\right)<\mathrm{0,}\forall x\in \left(1;\frac{5}{2}\right]\end{array}\right.$ .

Bất phương trình $\left(x^3-x^2+x-m\right).f\left(x\right)\le 0$  nghiệm đúng với mọi $x\in \left[-2;\frac{5}{2}\right]$ .

$\begin{array}{l}\iff \left\{\begin{array}{l}g\left(x\right)\le \mathrm{0,}\forall x\in \left[-2;1\right]\\ g\left(x\right)\ge \mathrm{0,}\forall x\in \left(1;\frac{5}{2}\right]\end{array}\right.\\ \Rightarrow \underset{x\to 1^{+}}{\lim }g\left(x\right)\ge 0;\underset{x\to 1^{-}}{\lim }g\left(x\right)\le 0\end{array}$

Do hàm số $y=g\left(x\right)$ liên tục trên $ℝ$  nên ta có:

$\underset{x\to 1^{+}}{\lim }g\left(x\right)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }g\left(x\right)=g\left(1\right)\iff g\left(1\right)=0\iff m=1$.

Thử lại, với $m=1$   ta có $g\left(x\right)=x^3-x^2+x-m=x^3-x^2+x-1=\left(x-1\right)\left(x^2+1\right)$  thỏa mãn đề bài.