Cho hàm số y = ax^3 + bx^2 + cx + d có đạo hàm là hàm số y' = f'(x) có đồ thị như hình vẽ bên. Biết rằng đồ thị hàm số y = f(x) tiếp xúc trục hoành tại điểm có hoành độ dương

* Hướng dẫn giải

Đáp án D

Tập xác định: $D=ℝ$ .

$y=f\left(x\right)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d\left(C\right)$.

$y^{/}=f^{/}\left(x\right)=3a{x}^2+2bx+c\left(P\right)$.

Dựa vào đồ thị của $\left(P\right)\Rightarrow f^{/}\left(0\right)=0\Rightarrow c=0$

 $\left(P\right)$ có đỉnh  $I\left(1;-1\right)\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}-\frac{b}{3a}=1\\ 3a+2b=-1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}3a+b=0\\ 3a+2b=-1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=\frac{1}{3}\\ b=-1\end{array}\right.$

Vì $\left(C\right)$ tiếp xúc Ox tại điểm có hoành độ dương nên $\left(C\right)$  tiếp xúc Ox tại điểm có hoành độ $x=2$ , theo điều kiện tiếp xúc của hai đồ thị$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}f\left(2\right)=0\\ f^{/}\left(2\right)=0\end{array}\right.\iff \frac{8}{3}-4+d=0\iff d=\frac{4}{3}\Rightarrow \left(C\right)$ cắt Oy tại điểm $A\left(0;\frac{4}{3}\right)$ .