Tứ diện ABCD có AB = AC = AD = a, góc BAC = 120 độ, góc BAD = 60 độ

Gọi H là hình chiếu của A lên (BCD).

Dễ thấy: $\Delta AHB=\Delta AHC=\Delta AHD\Rightarrow HB=HC=HD$

Do đó, H là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta BCD\Rightarrow H$ là trung điểm của BC.

Xét tam giác ABC có $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2AB.AC.\cos \widehat{BAC}=a^2+a^2-2a.a.\cos {120}^0=3a^2.$

$\Rightarrow BC=a\sqrt{3}\Rightarrow BH=\frac{a\sqrt{3}}{2}.$

Xét $\Delta AHB$ vuông tại H có $AH=\sqrt{A{B}^2-B{H}^2}=\sqrt{a^2-{\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)}^2}=\frac{a}{2}.$

Xét $\Delta ABD,$ có AB = AD = a và $\widehat{BAD}={60}^0\Rightarrow \Delta ABD$ là tam giác đều cạnh $a\Rightarrow BD=a.$

Xét $\Delta BDC$ vuông tại D, có $CD=\sqrt{B{C}^2-B{D}^2}=\sqrt{3a^2-a^2}=a\sqrt{2}.$

$\Rightarrow S_{\Delta BDC}=\frac{1}{2}.a.a\sqrt{2}=\frac{a^2\sqrt{2}}{3}.$ (đvtt).

Vậy $V_{ABCD}=\frac{1}{3}AH.S_{\Delta BCD}=\frac{1}{3}.\frac{a}{2}.\frac{a^2\sqrt{2}}{2}=\frac{a^3\sqrt{2}}{12}$ (đvtt).

Chọn D.